Makalah Penerapan Integral Lipat-Ganda

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Integral untuk fungsi satu variable, kita membentuk suatu partisi dari interval [a,b] menjadi interval-interval yang panjangnya Δx_k ,  k = 1, 2, 3, ….n

Dengan cara yang sama, Kita definisikan integral untuk fungsi dua variable. Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang XOY. Kemudian daerah ini dibagi atas n buah sub daerah yang masing-masing luasnya A₁ , A₂  , A₃  …… An. Dalam setiap sub daerah, pilih suatu titik P_k(x_k, y_k ) dan bentuklah jumlah :

Jika jumlah sub daerah makin besar (n→∞), maka integral rangkap (lipat dua) dari fungsi f(x,y) atas daerah R didefinisikan :

 

Untuk menghitung integral lipat dua dapat digunakan integral berulang yang ditulis dalam bentuk :

(a).

Dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variabel Y konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap Y.

(b).

 

Dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variable X konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap X. Jika integral lipat dua diatas ada, maka (a) dan (b) secara umum akan memberikan hasil yang sama.

1.2 TUJUAN

Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini adalah:

Ø  Untuk mengetahui cara penghitungan mengenai permasalahan tentang momen inersia,

Ø  Untuk menjelaskan materi tenteng penerapan integrla lipat ganda-dua khusunya pada momen inersia (bidang fisika).

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 PENERAPAN INTEGRAL LIPAT-DUA

Penerapan integral lipat-dua yang paling jelas adalah dalam penghitungan volume benda pejal. Penggunaan integral ganda-dua yang demikian telah digambarkan secara luas, sehingga sekarang berpaling kepenerapan dalam bidang fisika, antara lain massa, pusat massa, momen inersia, dan radius kitaran. Namun pada makalah ini akan dibahas mengenai penerapan integral ganda-dua pada momen inersia.

MOMEN INERSIA

Momen inersia (disebut juga momen kedua) dari partikel bermassa  terhadap suatu sumbu dan adalah jarak dari partikel ke sumbu didefinisikan sebagai . kita perluas konsep ini terhadap lamina dengan fungsi kerapatan  dan menempati daerah D dengan cara melanjutkan prosesnya seperti yang kita lakukan seperti momen biasa.

Kita bagi D menjadi segiempat-segiempat kecil, menghanpiri momen inersia masing-masing segiempat bagian terhadap sumbu-x, dan mengambil limit jumlah pada saat banyaknya segiempat bagian menjadi besar. Hasilnya adalah momen inersia lamina terhadap sumbu-x.

Secara serupa, momen inersia terhadap sumbu-y adalah

Merupakan hal yang menarik juga untuk meninjau momen inersia terhadap titik asal, juga disebut momen inersia polar.

Perhatikan bahwa

Contoh 1:

Carilah momen inersia  dan   dari cakram homogen D dengan kerapatan  pusat dititik asal, dan jari-jari a.

Solusi:

Perbatasan dari D adalah lingkaran  dan koordinat polar D dideskripsikan oleh , .

Langkah pertama marilah kita hitung :

Alih-alih menghitung I_x  dan I_y  secara langsung, kita gunakan fakta bahwa  dan (dari simetri soal ini). Jadi

Pada contoh ini, perhatikan bahwa massa cakram adalah

sehingga momen inersia cakram terhadap titik asal (seperti roda terhadap sumbunya) dapat dituliskan sebagai :

Jadi, jika kita memperbesar massa atau jari-jari cakram, kita akan memperbesar momen inersia.

Umumnya, momen inersia memainkan peranan yang hampir sama dalam gerakan perputaran (rotasi) seperti yang dimainkan massa dalam gerakan linier. Momen inersia rodalah yang mempersulit kita untuk memulai atau menghentikan perputaran roda, sama halnya seperti massa mobil yang membuat sukar untuk memulai atau menghentikan gerakan mobil.

Jari-jari putaran (gyration) lamina terhadap suatu sumbu  adalah R sedemikian rupa sehingga:

Keterangan:

·         m = massa lamina

·         I = momen inersia terhadap sumbu yang diberikan

Persamaan diatas menjelaskan bahwa jika massa lamina terpusatkan pada jarak R dari sumbu, maka momen inersia “massa titik” ini akan sama seperti momen inersia lamina.

Khususnya jari-jari putaran  terhadap sumbu-x dan jari-jari putaran  terhadap sumbu-y  diberikan oleh persamaan

               

Jadi,  adalah titik tempat massa lamina dapat dipusatkan tanpa mengubah momen inersia terhadap sumbu-sumbu koordinat.

Contoh 2:

Seperti dicatat, massa cakram adalah  sehingga dari persamaan  kita mempunyai :

Karena itu jari-jari putaran terhadap sumbu-x adalah

yang merupakan setengah jari-jari cakram.

BAB III

PENUTUP

3.1 KESIMPULAN

Kesimpulan dari makalah ini adalah momen inersia suatu benda dalam gerak putar, memainkan peranan yang serupa terhadap massa benda dalam gerak linier. Dengan perkataan lain, momen-momen inersia dari partikel-partikel mandiri. Sehingga, untuk menghitung momen inersia lamina terhadap sumbu-sumbu x, y, dan z adalah

·         Pada sumbu-x :

·         Pada sumbu-y :

·         Pada sumbu-z :

3.2 KRITIK DAN SARAN

Demikianlah makalah ini yang dapat saya buat,jika terdapat kesalahan dalam penyajian harap di maklumi. Untuk penyempurnaan dari makalah ini, saya menampung kritik dan saran dari pembaca.

DAFTAR PUSTAKA

Purcell, Edwin J & Dale Varberg. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Erlangga, 1987.

Stewart, James. Kalkulus Jilid 2, Erlangga, 1998.